Disponíve* em: http://editora.unoesc.edu.br/i*dex.php/rac* Race, Joaçaba, v. 14, n. 1, p. 1*1-*4*, *an./abr. 2015 APLICA*Ã* DA *RONTEIRA EFICI*NTE POR ME*O DAS T*CNICAS DE BOOTSTRAPPING E MONTE CARLO: UMA *ARALEL*ZAÇÃO ENTRE BM&FBOVESPA E NYSE A P*R*IR DAS PRI*CI*AIS AD** BRASILEIRAS A**lication of *fficient fr*ntie* t*rough boo*strapping an* *onte *arlo tech*iqu*s: a par*l*elizat*on between BM&FBoves*a a*d Nyse from majo* **azilian A*Rs Carolina Mag*a da Silva *oma E-mail: ca*olina.magda.adm@g*ai*.com Mestre em Ad*inistraç*o p*la Unive**idade F*de*al de Pernam*u**; Doutora*da no Centro de Pó*-g*aduação e *esquisas em *dministração/Fin*nça* na Universi- d*de F*de*al de *inas Gera*s. R*b*rt Aldo Iq*iap*za E-mail: riqui*paza@gmail.com Doutor e Mestre e* Administração/*i*a*ç*s p*la Un*ver**dade Federal de M*n*s Ger*is; Profess*r Adjunt* *a *niversidade Federal de *inas G*r*is; Avenid* *r*sid*nte Anto*io Carlos, 6**7, Pampul*a, 31271-*70, Belo Ho*izon*e, Minas Ge*ais, Bras*l. Brun* Pérez Fer**ira E-mail: *runoperez.bh@g*ail.*o* Doutor e Mestre em Ad*i*istraç*o/Finan**s pela *niversidade Federal *e Mina* *erais; Professor Adjunto *a Univer*idade Federal de Minas Ge*ais. Ar*i*o recebid* em 29 de ju*ho d* 2*14. A*eito em 23 de a*osto de 2014 121 Carol*na Magda d* Sil*a *oma, Ro*ert Aldo Iquiapaza, B*uno Pérez F*rr**ra Resu*o Nest* artig* é *evis*tada a área de gest*o de *nvestimento no *rtigo de Markowi*z (**52) *ue defini* formalment* o re*orno de um in*estimento * o risco, inserindo no cômputo *es*e ú*timo a covariância, isto é, a fo*ma com* os a*ivos se movimentam um em re*ação ao out*o. Co* tais defi*ições realizadas, Markowitz (1*52) aprese**ou a fronteira eficiente como *q**le *onjunto ** inv*st*m**to que apr*senta * melhor r*lação retor*o *ersus r*sco, o qual os investidore* p*d*m utilizar p*ra balizar seus *n**s*i**ntos. Dessa fo*ma, a presente pesq*is* obje*ivou con*truir, a pa*tir de d*dos históricos mensais relativos ao p**íodo entre feve*eiro de 2010 e abril de 201*, a *ronteir* eficient* u*i*izando três metodologias dif*rentes d* d*dos de entrada, que fo*am a man*i*a tradicional baseada na *éri* histórica, *or *ootstrapp*ng e Simula*ão de Mo*t* Ca**o, co*o *a**ém a obt*nçã* d* *ndi*e de *h*rpe (I*) para *dentifica* a **ssível *uperi*ridade ** a*gum dos mét*dos. Para esse fim, foi sele*ionada uma amostra composta por 10 *ompanhias brasileiras emi*soras de American Depositary Rec*ipts (A*Rs) e classificadas co*o Top Comp*nen*s do Do* J*nes B*azil Titans ADR Index (B* *0). Os *rincipais *esultados ev*denciaram que pelo método de bootstra**ing comparado com * Simulação de Monte C*rlo fo* possível rejeita* a hipótese nula de que produza* ISs igu*is, p*rém, não é possível ser f*ita a me*ma afirmaç*o analisan*o por *oots*rappi*g em relação à metodolo*ia tradicional. Pal*vr*s-chave: Front*ira eficiente. Dados *istóricos. B*otstrapping. S*mulação de Mon*e Carlo. Índice de Sh**pe. Applicati*n of efficien* frontier through boo*s*rappi*g *nd Monte Carlo techni*ues: a para*lelization betwe*n BM&*B**espa and Nyse fr*m majo* brazilia* ADRs Ab*tract In this paper we r*vi*i*ed t*e area of i*vestment manage*en* in th* article by M*rk*witz (*952) who f*rm*lly defined the **turn of a* *nvestment and *h* risk by ent*rin* in **e computation of *h* latter the covariance, i.e., *ow the asset* move in relat*on to eac* other. With *he*e de*initi*ns made, Marko*itz (19*2) introduced the ef*icie*t f*ont*er as one set *f inves*ment *h*t offers the *e*t r*l*tion *eturn ver*us risk, wh*ch inve*tors can u*e to mark their investm*nts. Thus, th* present *tudy aimed to build, fro* *onthly hist*rical da*a for the period between February 20*0 to April 2*13, the **fi*ient frontier *sing th*** diffe*ent meth*ds of input data, wh*ch we*e *he trad*t*on*l wa* base* o* historical series, bootstrappi*g and Monte Car** Simulation, but a*so to obtain *har*e Inde* (*I) *o identify *he superi*rity of one of th* po*sible methods. To this end, w* sel*cted a s*mple of ten B*azilian co**anies t*at are is*uers o* American Depositary Receipts (*DRs) an* *re classifi*d as To* C***o*e*ts of *h* Dow Jo*es Brazil Ti*ans *DR **dex (BR 20). Th* main results showed that the me*ho* of *ootstrapping compared with *onte Carlo S*mulation was possibl* t* re*ect *he null hyp*th*sis *h** produce SI equ*l, *ut cannot be made the *ame statement analy*in* b*otstra*pin* compared ** a t*a*itional me*h*d. Keywords: Effici*nt f*****er. Hist*rical data. Bootstrapp*ng. Monte Carlo Simulation. Sharpe Inde*. *22 Aplicaç** d* fronte*ra efici*nt*... 1 IN*R**UÇÃO U*a *as preo**pações de q*alquer investidor pe*soa física ** in*t*tuc*onal está em como m*lhor geri* seus *ecursos de f**ma a otimiza* tempo, recur*os e maximi*ar a *iq*e*a. P*ra tanto, o inves**d*r busca papéis *u* *ossam l*e ren*er u* retorn* acei**v*l consider**do o ní**l de risco que está di*posto a *ss*mir. Uma re*ra básica dentr* desse trad*-off e que exi*t* nã* som*nte na ár*a de i*vestimentos * *u* *uanto m*ior o retorno exig*do, mai* ris*o terá que s*r inco*r*do **, conf*rme o ganhador do prêm*o No*el de Economia *m *976, "[...] *here\* *o such thin* as a fr** lunc*." (*RIEDMAN, *9*5). E*s* é uma relação muito c*ara dentro do mer**d* de ca*it*is, n* qu*l as companh*as *e d*rigem *e fo*** a levant*r recursos * os i*vestidores e especuladores transacionam tai* papé*s visando à obtenção de ganho* e considerando o risc* assumido. A área de fin*nças tal *ual é conhecida há *lg** tempo, q*e *az uso *e metod*logias o*je*i*a* e bas*adas em m*del*s *atem*ticos para a gest*o de investime*tos, f** inic**d* pro**iament* n* artigo *e Markowitz (1952), *ue *nic*ou * Mode*na *eoria de Finanças. O autor estabe*ece* *u* o retorno de um p*r*fólio é at**buído pela média *onderada en*re a participaç** dos ati*os *a *arte*ra e o re*or*o *e cada a*ivo. Porém, essa sim*les pon**ração n** é suf*ciente par* m*nsurar o *isco. A gran*e contrib*iç*o de Marko*itz (1952) *oi in*e*i* no cálcu*o do risco d* um at*vo a covariância, isto é, a manei*a como os ati*os *e mo*ime*tam um em r*lação *o out*o. Então, o atual investidor que se ba*e*va apenas no e*pirismo, pode pas*ar a fa**r uso *e uma abordagem *bje*iva pa** identificar que p*so a*ribuir * *ada ativo em *ua carteir*. A partir das va*i*veis retorn* e ri*c*, *ode-se co*struir a fronteir* eficiente *ue, co*fo*me p*oposto por Ma*kow**z (19*2), é aquela que re*resent* a mel*or opç*o ** retorno para determinado nível de risco ou, *inda, para *etermin*do ní*el de risc* n*o há *m retorno *aior qu* po*sa se* *lca*çado. Eis, ent*o, o ob*et**o de ca*a *nvestido* qu* busca maximizar sua função utilidade (U = f (E(r), ). E* *u*ras palav*a*, a fro*teira eficiente pr*posta pelo au*or es*á *und**e*tada puramente ** an*lise do re**r*o (m*d*o) e risco (*ari*n*ia) d* uma c*rteira d* ativo*. Para Bernstein (1997) é * domínio do ris*o que sep*ra os tempos m*dernos e o *assado. A*sim, a cr**ção, o teste e o ap*rfe*çoamento d* variadas técnic*s que objeti*am con**ibuir para a literatura e visam proporcionar estimati**s mai* acu*ada* de retorno e risco para o inve*tidor *autar suas escolhas são sempre nece*sár*os. *23 C*rol*na Magda *a Silva Roma, Robe** Aldo ***iapaza, *runo Pérez Fe**ei*a É nesse esc*po que o pres*nte trabalho se *nsere. Partindo *a contribu*ção d* Markowitz (195*) com os con*eit*s de retorno * risco, busc*u-se construir a *ronteir* efi*iente utilizando ob*ervaçõ*s a **rt*r de trê* mé*odos diferen*es: f*onteira tradicion** de média-variância (M*) co* dados históricos; front*iras s*muladas *el* método de boot*tr*pping (reamostragem para um tama*ho igu*l à m*t*iz or**inal e *u*ro *ara o dobro d* *úmero de observações) * Si*ulação de Monte Carlo - *o*parar o resultado vis**d* i*entifica* *e há su*erioridade de *lg*ma delas *iante das d*mais *e baseando no teste t aplicado ao Índice de Sharpe (1966). E*te *ndic* é um in*i*ador bas*an*e utilizado pelo m*rcado p**a acompanhar o de*e*penho *a carteira e a*aliar a per*orman*e dos ges*ores de fundos de i*ves*i*en*o. Ainda, como *m*stra for*m usados 10 American D*positary Receipts (ADRs) *on*ide*ad*s Top Compo*ents do ín*ice D*w Jones Brazil Titans *DR I*dex (BR 20), o qual repr*se*ta as comp*nh*as brasileiras mais negoc*adas n* mercado americano, para o período d* fevereiro de 2*1* a a*ril de 2013, total*za*do 39 obse*va*ões mensais. Co*o jus**f**ativa, pode-se apresentar a c*ntribuição par* a área de investimento compara*do *rês dife*entes metodologias que podem se* utiliz*das *elo inv**tid*r no mome*t* de sele*io*ar o* dados de in*ut para *s*ru*ura* a fronteira efic*ente, isto é, aque*a que representa a melhor o*o*tun*dade de *nve*time*to consi*erando s*u *erfil e por verificar de forma ob*et*v* a re*ação entre elas. * trabalho est* es*r*tu*ado *a se**in*e forma: na *eçã* 2 são apresentados *s principais conceitos **ntro de te*ria de carteir*s e a ***lização *os *étodos alternativ*s para g*rar as vari*vei* de i*pu* para mo*tar a *ronteira eficien*e. Na seção 3, encontra*-se os pr*cedim*ntos metodológicos a*otados. Na seção 4, são apresen*ados e dis*utidos os princip*is resultado* da p*squ*sa e, *or último é **alizada a conc*usão do trabalho. 2 REFER*NCIAL TEÓR**O 2.1 * FRONTEI*A EFICIENT* Já *e passa*am 62 an*s desde que o artigo d* Harry Markowit* foi pu*l**ad* no T*e Jou**al of Finance, sob * tít**o Portfólio Selection, que veio a revo*ucionar o campo de f*nanças. Tal c*mpo, a parti* das décadas d* 1*50 e 1960, p*ssou **r uma t*a*sform*ção teórico-metodológi*a *e ****tand* da decisão pautada *a base e*pí*ica e se firmando co*o um c*m*o de caráter normativo qu* é e*contrad* no **4 Ap*icação da fronteira efi*ient*... p*radigma positivista *uncio*alis*a (IQUIAPAZA; *M*RA*; *RESS*N, 20*9). O trabalho de Markowitz (1952) fundame*ta o q*e é denominad* Moder*a Teoria de Fin**ça*, pois contribu*u apontando par* uma mudança de rumo nos estu*os re**cionados à área que, conforme *x*lic*tado, p*ssuíam um viés mais prát*co, para um* abordagem objetiv*, *poiando-se, *or exemplo, na matemática. O trabalho d* Markowitz (1952) estabelec*u como um investidor con*iderado racional, uma v*z que s*as formulaçõ*s *s*** atr*lad*s à teori* de utilidade esperada, poderia eficientemente o*im*zar um portfólio para a*oc*r seus recursos. Para tanto, há **e se val** ** t*ade-of* r*tor*o versus risc*, *ssumindo *ue o inv*stidor, *uj* comportament* está pautado na raciona*idade, *em*re busca maximiz*r o retor*o *ossív*l e minimizar o r*sco ao qual está exposto analisando N *tivo*. A exe*plo di*so, t*m-se estudos *omo os qu* bu*cam fornecer estima*ivas para apoiar a tomada *e de**são (a exempl* das *edid*s d* r*t*rno *j*stadas ao ris*o, tal qual o ín**ce de S*arp* * o índice de T*eynor, for*ulados por Shar*e (1966) e *reyno* (1965), respectivamente, e a va*i**el prêmio *e risc* nos estu*os de *p*eçamento de ativos, a exemplo *o C***tal Asset Pricing Mo*el de Sharpe (1964), Lin*n*r (1965) e M*ssin (19*6), entr* o**ro*. O método *ropost* por Markowit* (1952) ***a compu*ar o retorno de um at*vo e do ri*co (variância) é m*strad* a **guir na sua forma *atric*a*: E(r) = w' r (1) 2 = w'Cw Suj*ito a w =1 *=1 wi 0 i = 1,2,..., * (2) (3) n Em que w repres*nta o vetor de pesos de cada a*ivo a ser investido na carte*ra, r representa * vetor r*torno d* cad* ativo individ*al e C * a *atriz de *ovariância amostral. *g*alment*, pode-*e v*rificar que o pro*lema de otimização * restr*to a apen*s p*rticipações positiva*, isto é, re*trin*e *endas a d*scobe*to, e *ue não haja ativos com p*s* nu*o. Assim, tr*s obs*rvaçõ*s acerca do trabalho de Ma*ko*itz (1952) mer*c*m des*aque: pr*me*ra, o *étodo apresentado * o 125 Carolina Mag*a da Silva Roma, *obert Aldo Iquia*aza, Bruno Pére* F*rreira de média-*ariância (MV), *ois *stá basead* no pa**metro ( µ, ); segunda, no 2 refe*ido trabal*o, some**e for*m considerado* ativos de risc*; e, terceira, a maior contribuição f*i inserir a rele*ância da covariância para computar o risco da **rte**a, pois a forma como os at*vo* *e mov*mentam um em relação ao outro permite colocar em jogo a relevância da *iv*r*ifi*ação no portfó*i*, que influ*nci* diretamente na análise do trade-o*f retorno versus risco, pois qu*nto ma*s * c*rteira for *iv*rsificada, isto é, qu*nto mais os a**vos fore* n*gativamen*e cor**lacionados, mais pro*e*ão para o portfólio do inv*sti*or em movimentos contrári*s no m*rcado. A*nda, Mar*owitz (1952) designou o conjunto eficiente de pontos (retorno, risco) com* a fronteira eficie*te. Conj*nt* efici*n**, em *utr*s palavras, significa que, para um d*term*nado nível *e ri*co, *ã* há maior retorno ou que, para d*ter*i*ad* níve* *e r*sco, não há men*r ris**. Para a c*nstruçã* da *ronte*ra, calcula-se o retorno *é**o de cada ativo e a *atr*z de covari*ncia amostral para que se*a p*ss*vel construir o portfó*io de míni*a variânci* (PMV), aquele com menor risco poss*vel, e * portf*lio *angente (PT), is** é, aquele *ue a*resenta o maio* índice de Sharp* ou ainda aque*e que ma*imiza o g**u de incli*ação, conforme apont*do a s*gu*r: *VM = C 1.* PT = * 1.PR (4) (5) Em que: PVM = po*tfólio ** vari*ncia mí**ma; C1= matriz inv*rs* de c*va*iânc*as d*s re*ornos; PT = p*rtf*lio tangente; P* = prê*io de risco ou d*fe*ença entre o ret*rno de um d*terminado at*v* considerado d* risco e a proxy do at*vo liv*e de risco. Ainda, *arte-se do pressupos** de que: p*ra o P**, as covariâ*cias *e ca*a um do* ativos com * PVM *ão a* mesmas para todos os *t*vos. *or e**mplo, *on*ide*ando três a*ivo* na car**ira de*ominados k, n * i, o enu*ciad* a**rma que k,PVM = n,P** = * i,PVM , *endo, entã*, *gualado a u* valor arbitrário p*ra o 12* Ap*i*ação da *r**teira efi*iente... pos*erior rees*alonamento buscando encont*ar o ve*dadeiro p**o daqu*le *tivo na carteira; pa*a o PT, * que s*o considerad*s i*uais são o prêmio p*lo risco e a covari**cia dos ativos com o *T. Contin*ando o *xemplo an*erior, para os at*vos Rk rf Rn rf Ri ** = = k, n e i, então, ter*o que * k,** n,P* *,P* . *ova*ent*, **uala-se a express*o a um valor arbitrário, r**ultando em uma s*matória que u*trapassa *00% e, por *ltimo, reali*a-se o reescalonamento pa*a identifica* *s pesos corretamente. C*m o intuito de situar o lei*or, c**vém sal*entar que diversos a*tores têm pesquisado ac*rca da eficiênc*a da *timiza*ão de média vari*n**a em relação * outras técnicas de co*strução de carteiras (DEMIGUEL; GARLAPPI; UPPAL, 20*9, *U; ZHOU, 2011), como *ambém estudo* *o*re *orma* *lternativas à matriz *e c*variância amostral (LEDOI*; WOLF, *003, PAPPAS; K*RIAKOP*U*OS; KAIMAKAMIS, 2010, SANTOS; TES*AR*, 2012, RUBESAM; *EL*R*ME, 2013), qu*, conforme men**onado, * *e*essária para * cálculo do risco segundo *e*ini*o pelo **tor. Por exemplo, Santos e Tessar* (201*) anali*aram * desem**n*o fora da amostra da carteira de média-v*r*ância e de *ínima-*a*iância e* t*rmos de re*orno médio, d*svio padr*o, Índice d* Sharpe (IS), turnover, cu*to b****even e re*orno acumula*o em *xc*sso ao Certificado de *epósi** Interfinanceiro (CDI) entre c*nco diferentes maneiras ** calcul*r a matr** d* c*variância (ma*riz amos*ral, Ri*k*et*i*s e três e**imadores alter*at*vos prop*stos por Ledoit e Wolf (2003, 20*4a, b), *ompar*n*o o* resultados com d*i* benchmark*: a carteira de**minada *ngênua (1/*) * * índice repre*e**ati** da c*rteira de mercad* (Ib*vespa). Como r*sultado, encon*raram que estimadores alt**nativo*, c*m de*ta*ue para o apresentado por Led*it e Wolf (2003), obtiveram desempe*h* superior *nclusive e* relação aos be*chmarks. 2.2 M**ODO DE BOOTSTRA*PING E SIMULAÇÃO *E M*NTE C*RLO Assim como na literatura s* t*m buscado novas formas de estimar o ris*o, tamb*m se tem realiz*d* *studos voltad*s a *ifere**e* formas de *erar os d*dos para os *uais re**rno * r*sco e variáve*s de *np*t serão calculados. **chaud e Michaud (20*8) retomam uma dis*ussão sobre a *esampl*d E*ficient Fro*tier (*EF) apresentada p*r M*chaud (1998). Essa técnica busc* compen*ar a fronteira de média-variância tradiciona* de *ar*owitz (1952) por entender que esta não consid*ra os erros *e estim**ão, isto é, a incerteza das va*iá*eis que servem *2* Caro*in* Magda da S*lva Rom*, Robert Aldo I*u*apaza, Bru** Pére* Ferreira d* input para *s*rutur*r a m*lhor relação ret*rno versus *isco. Sobre i*so, M*chaud e Michaud (2008) apontam que: [] the prob*em t*at limits the investment value of MV optimiz*d portfol*o* is not Ma*k*witz\s th*ory. Markowit* gives you t** right wa* t* inve*t given that y*u know that yo* have exa*tly the correct inputs. The m*st serious proble* is e*ti*ation error, or param*ter unc*rt*in*y, i* optimization inputs. (MICHAU*; M*CH*UD, 2008, p. *0). Dessa forma, Michaud (1*98, 2*02) e *i*haud e Michau* (20*8) têem le*antado **a discus*ã* acerca do us* de portfólios ótimos **r meio de rea*ostragem. A REF *az uso *o mé*odo de bootstrapping e do M*t*do de S*mul*ção de Monte Ca*lo (M*MC) visando à c*nstru**o de *a***iras *ue c*n*empl*m o grau de acuráci* nas in*ormações, ou seja, que atentam para a incertez* (MICH*UD; *ICHAUD, 2008, p. 10). * bootst*apping * um m*to*o não paramétrico, o q*al, a pa*tir dos dados originais, gera pseudoamo*tras. Segundo Efron e Tibshiran* ^(1986), **vendo um parâmetro desconheci*o, , e dado à escolha de um estimador,, para este, o bootstr*p ^ permite iden*ifica* o qu*o acu**do * est**ador esc*lhido, , é di*nte do . Partindo de uma amostra, X = X1, X 2 , X 3,..., X n é construído um n*vo conjunto d* *ados * = x1, x2, x3,..., xn , em qu* as pseudo-observações são encont*adas a **rtir de sor*eios *om rep**ição, *odendo ocorrer de u*a determinad* variável ser elencada na amos*** de bootstra**ing ( B ) mais de uma vez (para ma*o*es det*lhes ace*ca *o método, ver Efron (1979), E*ron e Gong (1983) e Efron e Tibshiran* (1986)). Já no *SMC, b**ca-se não o sorte*o aleatório a partir dos dados já *xistentes, *as recriar os dados *artindo de uma d*st**buição de prob*bilidade. Em Michaud e *ichau* (2008), *s auto*es apresentam que ao con*r*rio de outros estudos *ue comparam a performance in-s*mp*e da metodol*gia tra*icional de MV com a RE*, es**o concent*ad*s no que se r*fere a* out-of-sample, para identif*c*r a *uperi*ri*ade da REF. O G*áfico 1 represent* *ron*e*ras eficie*tes *onstruídas *or simulação (10 anos d* obs*rvações mens*is) par* 2* companhias escolhid*s al*atoriamente a partir do índic* S&P 50* em *ontrast* com o método *radicional de *V. 1*8 Ap*icação da f*on*e*ra ef*ciente... Gráfico 1 - Fronteira E*ic*ent* Orig*n*l e Simu*adas e a Fron*eira Resa*pled Eff*c*ent (RE) Font*: *ichaud e Micha*d (2008, p. 11). O que os au*ores quise*am a**esentar no Gráfico 1 do la*o esquer**, é a variab*l*da*e que oc*r*e qu*ndo se parte de f*onteiras simuladas chegando, inclusi*e, a a*gumas apresentarem me***e do *isco * outras possuír*m *ai*r grau de risco. No lado direito, comentam que as *á*ias fronteiras simuladas s* convertem e* uma ú*ica * partir da RE, que parte do p*essup*sto d* que como *á uma p*obabilida*e ig**l de o*orrer c*d* um* d*s fron*eira* simu*adas, então é possível e**tuar u*a *édia dos peso* das cart*iras de míni*a variânci*, de máximo retorno e das int*rmediá*ias *e forma a *preci*r a *tilidade *sperada do inve*tidor. Ainda, Michaud e *icha*d (2008) a*resentam que a R* faz uma melhor distribui*ão dos p**os do* ati*os nas carteiras, ** contrário da tradicional que e* deter*i*adas suposições atribu** peso nulo par* alguns ativos. Dessa forma, no presente trab*lho serão l**antadas as fro*te**as eficientes a p*rtir do método *e*cr*to ** pa*te de *art*ira*, com dad*s his**ricos, que, *a*a s*mplificar, ser* aq*i, po* vezes, denomi*ada forma tradicional po* representa* uma ma*eira bastan*e *tiliza*a, por meio do métod* d* bootstrapping e por *S*C, contu*o, analisa*do a perfo*manc* *n-sa*pl* par* c**paração. 129 Carol*na Magda da Silva R*ma, Robert Ald* Iquiap*za, Bruno Pé**z Ferreira 3 PROCEDIMENTO* METO*OLÓG*COS 3.1 *ELIN*AMENTO DA PESQUISA *e*gara (2000) rea**za uma clas*if*cação da pesq*isa *m *ois **pos: qu*nto aos fins e quanto aos meios. As*im, este artig* encon*r*-s* enquadrado com* qua**it*tivo de método dedutivo; quanto a*s fins é classifi*ado como descri**vo e qu*nto aos meio* co*o ex post facto, *ois s* refere * metodologias al*er*ativas para a c*nstr**ão d* frontei*a eficien*e sem, **ntu*o, haver como alt*rar os resulta**s já atingi*os pelos ativos analisados. 3.2 *MOSTR* Os *tivo* utilizado* nes*e trabalho s*o American D*positary Receipt* (ADRs). Seg*ndo As*af **to (2009, p. 71), as com*an**as br*sileiras pode* *azer uso dos D*positary Recepeits (D*s), em po*tuguês r*cibos de dep*sito, emit*ndo recib*s de depósit*s las*re*dos e* ações, e* que **tas *ã* cu*todiadas *or u*a instituiçã* financeira denominada Banco Custodian*e e, co* a existência desse lastro, emi*ida* **r um Banco Emi*sor. Especificamente, os ADRs são um tipo de recibo de depósit* lançado nos *stad*s Uni*o* e r*presentam uma *orma de as e*presa* *rasil*iras c*ptar*m recursos no mercado amer*cano. *onvém de**acar que existem aind* outr*s tipos de D*s c*nsoante o mercado em q*e são negocia*os, p*r exe*plo, o Brazilian De*o*itary Receipts (BDRs), e*pres*s estrangei*as que negoci** na Bolsa brasileira. Para f**s de*ta pesquis*, for*m utiliz*dos os ADRs *lassificados *o*o Top Co*po*ents do Dow Jon*s Br*zi* T*ta*s ADR Index (*R 20) ou ape*as *R Ti*ans 20, *a c*r*eira do índice de 2013, transacionado* na **w Yo*k *tock Exchange (NY*E). O BR Tita*s 20 é um *ndice calculado desde outubro de 2004, perte*cente à família dos *ow Jones Indexes. A*sim como no *a*o br*s*leiro, tem-se o ín**ce r*pr*sen*ativo da cart*ira *e merca** (Iboves**), o *R Titans 20 representa as maiores e mais líquidas açõ** das compan*ias b*asilei*as listadas no* Estados U*id*s. A s**uir, tem-s* o Quadro * *presentando as companhias q*e fazem parte da an*lise. 130 Aplicação d* fro*t*ira efic*ente... Quadro 1 - Códigos dos ativ** u*iliza*os na **squisa Em*resa *DR Itaú Unibanc* **ld*ng S.A. IT*B B*nco Br*desco BBD Petr*bras *.*. PBR Cia B*bidas das Amér*cas - **bev *B* Val* S.A. VALE BRF S.A. BRFS Ultrapar Parti*ipa*õe* S.A. *GP Tele**n**a *rasil S.A. VIV Gerd*u AS GGB Cia Brasi*e*** d* D*stribu*ção CBD *onte: os autores. Den*ro dos setore* pa*a os quais as empresas pertencem, *ode-se visualizar um *ix abrangendo, p*r *xe*plo, o setor fi*anceiro, alimentí*io e de telec*munic*ções. Tamb**, apesar de aqui *e*em si*o ap*esentadas **e*as as 10 maio*es e mais lí*uid*s *mp*esas, dest**a-se que * índice é *om*osto por 20 co*panhias *ras*lei*as. 3.3 TRA*AMENTO DOS DADOS Os preço* de fechame*to foram cole*ad*s atrav*s do Software E*onomá*ica, pa*a, e*tã*, calcu*ar os ret**nos das s*ries. O perío*o compreendido nessa an*li*e é de fev*reiro *e 2010 * abr*l de 2013, e* bas* mensal (T = 39 *bse*vaçõ*s). *s re*o**os *as sé*i** for*m calcula**s c*nforme a Equação 6. Pt *t* Pt1 (6) Par* *onstr*ir a fr**teira eficiente, fez-*e uso das Eq*ações 1 e 2, p*ra obter o retor*o e o **sco, respectivamente, porém, sem rest*in**r vendas a desco*erto (o *tivo pod* assumir pes*s negativos, i.e. w < 0 ). Para enc**t*ar o portf*lio de variân*ia mínima e tan*ente, b*seou-se nas Equações * e 5. 131 C*r*lin* Magda da Silva Roma, Robe*t Al*o Iqu*apaza, Br*no Pé*ez F*rrei*a A partir de entã*, pode-se encont*ar a f*onteira para *s *ado* originais e t*mb*m com os retorno* mensu**d** a partir do método d* bootstrapping e p*lo MS*C. O pr*meiro sorteia aleator*amen*e e com reposição o conj*nto de observaçõ*s *ensais a en*rar *o cálc*lo d* frontei*a como ret*rnos obtidos no pe*íodo. Para tanto, foi real*zado *al procedimento *om o número de observ*ções equiva*e*te ao to*al da *mostra (T = *9) e com * dobro dessa j*nela de *empo (T = 78), *uscando indícios *ompa*ativo* sobre a superior*dade de um proc**imento em relação *os demais. Pelo MSMC, for*m sim*lad*s 1.200 observações randômicas mensais situadas no intervalo de -2 * 2 com o o*jetivo d* c*mpreender períodos de t*mp* maiore* para a c*mpara*ã*. Mais ai**a, para não per*er caract*r*sticas g*rais do inter-r*lacionamento entre as **ri*ve*s, procedeu-se a* *alculado de de*omposi*ão d* Choles*y na matriz de covariânci* par* cons*d*rar a *o*ma *omo elas se movi*entam conjuntamente. Sob** ta* procedim*nto, Gr*ene (*993, p. 36) define *ue "[...] qua*quer ma*riz *efin*da positiva *im*trica, A , po*e s*r escrit* como o pr*duto d* uma *atriz trian*ula* infe*i*r, L, e sua transposta (que é uma mat*iz triangular superi*r), L´= U . *ssim, A = LU . Esta é * decomposição de Cholesky *e A ." *essa forma, os retorno* foram calculados c*mo: xITUB,1 xBBD,1 xP*R,* ... xCBD,1 ITUB,I*UB * ITUB,BBD ITU*,PB* ... ITUB,CBD xIT*B,* xB*D,2 x*B*,* ... xC*D,2 BBD,*TUB *BD,BBD BBD,PBR ... BBD,CBD rt = (7) xIT*B,3 *BBD,3 xPBR,* ... xC*D,3 PBR,ITUB PBR,BB* * *B*,*BR ... P*R,*BD ... * ... * xITUB,*200 x*BD,1200 xPBR,1**0 ... x*BD,**00 * CBD,ITUB CBD,*BD C*D,P*R ... CBD,*BD Assim, como estão s*ndo propo*tos três tipos *e estratégia de in*estimen*o co* qua*ro possíveis formas de construir um po*tfólio eficiente (bootstrappin* com t*t*l de observa*ões igu*l ao ta*anho *a amostra - T = **, bootstrapping com o d*bro do total de *bservaç*es da amostra - T = 78, pe*o critério tradicional e por *imulaçã* d* M*nte Carlo), f*i co*duzi*o o teste t pa*a os máxim*s *ndices de Sharpe p*ra verificar *e esta*isticamente há *ifere*ci*ç*o n* uso ** u** estratégia men*urada por tal in*icador *obre as d*m**s. O Índice de Sharpe (1966) é *ma das métricas utiliza*as par* an*lisar o retorno em excesso ao mercado frente ao risco, conf*r*e a seguir: *32 I* = E(rp ) *f p Ap*i*aç*o da fro*teira eficiente... (8) Dessa *orm*, o IS é **terminado *elo: (r* )= ret*rno *sperado médi d* carteira; rf = retorn* d* proxy do ativo livre de risc*; k = desvio pa*rão (risc*) d* *artei*a. Por*m, aqui será utiliza*o um a**ste send* **nsiderada a*ena* a relação do *etorno médio da car*eira pelo desvio padrão p*ra a comparação des*a *edida de desempenho ajus*ada ao risco. Cab* dest*car *ue para * cômputo dos máx*mos Índices de Sharpe foi c**s*d*r*do que: a) para *s car***ras s*rteadas *om repo*ição (b*otst*appi*g) - *pur*u-se * maior IS de cada fronteira e se calc**ou a média deles; b) para a fr**teira tradicional e de Simulação de Monte Carlo - para essas *m *ue f*ram geradas apenas uma única f*onteira, con*ider*u-se o v*lo* *áximo d* IS regis*rad*. O va*or da estat*st*ca t foi calcul**o pela razão ent*e a diferença do IS gerado a parti* da fronte*ra de bootstrapping co*para*o * **adicional e, poster*ormente, *o MSMC, pe*o desvio p*dr*o da estr*tégi* de bootstrappi*g. O que se pretende reali*ar é a c*mparaç*o d* va*or da e*tatí*tica t, *bservando as hip*teses do te*t*: H0 = não há diferença **tre os máximos Índices de Sharpe cons**uíd*s consider*nd* *s diferentes *straté**as; H1 = há diferença entre pe*o **nos um dos *áximos Ín*ices de Sha*p* construído considerando as diferent*s estratégias. ( O tcrítico *a tab*la t para ** *raus *e liberdade e nível de confia*ça de 9*% = 0,05 ), é de 2,02, sobre o qual será analisa*o se: tcalculado < tcríc*to : Não se **de rejeitar H0 133 Ca*olina Magd* da *ilva Roma, Robert Aldo Iquiapaza, Bruno *é**z Ferrei*a 4 ANÁL*S* * DIS*USSÃO DOS R*SULT*DOS 4.1 ESTATÍSTICA DESCRITI*A DOS DAD*S P**a i*iciar * análise dos dados, convém apr*sentar a es**tí*tica des*ritiva para os *0 ADRs *re*entes na a*o*tra. A segu*r, *e*ue o result*do apurado: Tabela 1 - Est**íst*ca descritiva da amostr* IT*B BBD PBR AB* *A*E BR** U*P VIV *GB C*D Reto*n* -0,1% 0,68% -1,68% 2,42% -0,64% 1,98% 2,5*% 1,1% -1,22% 1,4% mé*io M*d*a- 0,96% 1,18% -2,*8% 1,94% -*,74% 2,44% 1,95% 1,8*% -2,52% 2,56% na *áxi- 21,81% 25,6*% 21,*4% 17,16% 18,44% 18,3% 14,58% 12,62% 23,5*% 24,16% mo M**i- -20,08% -18,75% -25,7*% -1*,08% -21,4% -16,86% -11,39% -18,68% -19,*6% -29,79% mo **svio 9,41% 8,37% 11,1*% 7,66% 9,7% 7,9% 6,48% 6,5% 10,12% 9,89% padrão Assi*e- 0,118 0,60* 0,018 -0,**8 0,152 -0,1*3 -0,161 -1,*95 0,4*1 -*,*99 tria Curtose 2,*92 4,4*6 2,5*4 2,9*7 2,509 2,542 2,*5* 5,*68 2,948 4,58 Fonte: os *utore*. *u*nto ao retorno médio, a UGP ficou em primeiro lugar no *anking com *,53%, s*guida da ABV e BR*S, *ue a**an*a*am 2,42 * 1,98%, respectivamente. Os pa*éis ITUB, PBR, VALE e GGB foram aqu*les qu* obtivera* r**o*no *é*i* negativo durante o perí**o de *mostr*. A PBR apr*sentou o ma*or desv*o padr*o (11,15%) e a UGP o m*nor desvio em relação à mé*ia (6,48%). Ai*da, cab* aqui destacar doi* pontos relev*ntes: a *G* foi a q*e ob***e maior retorn* e menor risc* mensurado *elo desvio padrão; as *ompanhi*s que tiv*ram retorno médio *egativo estão entre aqu*las *ue apresenta*am ma*or desvio *ad*ão. *ob*e a assimetria e curtose, cin*o papéi* mostram as*imetria *egativa e em *eral todos e*idenciam a presença de *urtose, porém, de *aixa *agnitude c*nsiderando a *ompar*ção c*m o padrão d* *istri*uição gaus*iana que *xi** curtos* 3. 4.2 CONS*RUÇÃO DA F*ONTEIRA EFICIE**E PELOS MÉTODOS PROP**TOS O Gráfico 2 representa a fron*eira *ficien*e segund* os crit*ri** de méd*a-variância l*v*nt*do* *or Markowitz, a partir *a a*ordagem *e método *e 134 Apli*ação da fr*nteira eficiente... reamostragem por boots*rapping **m a mesma quantida*e d* observaçõ*s que na M* tradic*onal (* = 39). Gráfico 2 - Fro*tei** Efic*ent* co* Boot**rap (T = 39) e Tradicional ** Markowitz 0,6 0,4 0,2 0 0 0,1 *,2 0,3 0,4 0,5 0,* -0,2 -0,4 **sco (D*svio pa**ão) F*onteira Eficiente de Mark**itz -0,6 Fonte: os au*ore*. Por*m, ai*da assim o que é evidente é que, da mesm* maneira qu* *ichaud e Mic*aud (20**), po* me** *a técnica d* Res*mpling Efficiency (*E) *om o Método de Simula**o de *onte **rlo, aq*i també* a *ronteira eficiente MV trad**ion*l foi superada havendo uma grande v**ia*il*dade c*m fro*t*ir** simulada* co* men*r e mai*r r*sco que a t*a*icion*l. Par* o resultado de **otstrapp*ng com o dob*o do número *e observaçõe* (T = 78), tam*ém se encontro* um* sup*rioridade observando *s fronteira* *imuladas. O Grá***o 3 ilustra o result*do: 135 Ca*olina Magda da **lva Roma, R*b*r* A*do Iqui*p*za, Brun* P*rez Fe*reir* Gráfico 3 - Frontei*a Ef**iente *om Bootstrap (* = 78) e Tradicional de Markowitz *,6 0,4 0,2 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 R*sc* (Desvio padrão) -0,2 -0,4 F*onteira **icie**e de Markowit* -0,6 Fonte: o* aut*res. Log*, percebe-se qu* res*ltad* *i*ilar é en*ont*ado, e*istindo a poss*bilidade de construir front*ira* por b*ostrap*ing que estão ac*ma e abaix* da fro*teira efic*ente de Mar**wi*z (*952); p*rém, haven*o *uit* mais *quelas q*e * super*m. Bu*cando aprofundar a aná*ise, real*zou-se a simulação d* fronteir* a *artir do Método d* *ont* Car*o para comp*rar *om a fr*nteira de MV. Por S*mulação de Monte Carlo foi recr*ado um total de 1.20* observações mensais com o objetivo de permitir u* maio* espaço *e tempo amost*al *ara a análise e em ra*ão das *ncertezas no mercado, b**cand*, assim, abranger *ários cenário* p*ssívei*. Aqui, optou-se por p*ime*ramente apresent*r apena* o plot da fronteira por MSMC e, poste*iormente, com***ada à trad*cio*al, em decorr*ncia do grau de retor*o * *isco co*putad** que são b*stante in*erio**s qu*ndo em con*ra**e. 136 Aplicação da fro*teir* eficiente... Gráfico 4 - F*onteira *ficien*e pe*o Método de Simulaçã* *e M*nte Carlo 0,00012 0,0001 0,00008 0,00006 0,00004 0,00002 0 0,003635 0,00*64 0,003645 0,00*65 0,003655 0,00366 0,003*65 0,00367 0,*03675 0,00368 Ri*co (D*sv*o padrão) Fon*e: os autores. Observa-se no Gráfico 4 um risco pra*icamente constante ao longo da fro**eira e um retor** tam**m c*m pouca *ariação. Isso sig*if*ca qu* *ar* uma anális* mensal, c**rind* 1.20* o*s*rva*õe*, o MSMC *er*u *ma bai*a relação retorno/risco e, consequ*ntemente, ba*xo IS, o q*e era um resu*tado espe*ado em decorrência do tamanh* da *érie gerada. No *ráf*co 5 *o*tr*-*e a compa*aç*o das duas *rontei*as: Gráfi*o 5 - Fronteira *ficient* com MSMC * T*adicional de *arkowitz 0,1 0,08 *,06 0,04 *,*2 0 0 0,02 0,04 *,06 0,08 0,* 0,12 0,14 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 Font*: o* a*tores. R*sco (Desvi* padrão) Fronteira E**ci*nte de *ar*o*itz Com isso, veri*ic*-se o di**anci*me*to exis*ente entre a* dua* *ronteiras eficie*tes, o que está *e aco*do c** o resultado *present*d* no *ráfico 4. *ar* 1*7 Carol*na Magda *a Silva *oma, *obert A*do Iquiapaza, Bruno Pérez Ferreir* obt*r uma estat*stic* de *e*te e ver*f*ca* se re*lment* alguma das estratégias gerou retorno diferenciado para o i*v*stido*, foram co*putados os I*s. Na Tabe*a 2 são sintetizados os result**os refe*entes à *statístic* **s*ritiva *édia e ao des*io pad*ão dos ISs. Tabe*a 2 - Índice* de Sharpe pelos difer*ntes méto*o* propostos IS Bootstrap (T = *9) Bootstra* (T = 78) M*dia do máximo 1,3156 1,1856 *esvi* pad*ão *,2433 0,1313 IS Tradicional MSMC Máximo 1,04*4 0,0264 D**vi* padrão 0,5289 0,00*5 Font*: os autores. *ntre a* r*amostragens com re*osiç*o, o IS méd*o foi *aio* quando se fez u* *ama*ho *e am*stra i*ual à *at*iz o*igin*l dos dados, porém, a dif**ença não foi muito ele*ada di*nte d* reamostra**m com o do*ro d* o**erva*ões sorte*d*s. **ando a*enas **i co*str*ída uma única fro*teira, o MS*C apres*n*ou o men*r IS *ue pode s*r *ustificado **nsideran*o-*e o *ama*ho da amostra. Agora, pode-se ob*e* va*or *o test* tcalcul*do . N* Tabela 3 são apre*entadas *s estatí*ticas t. Tabel* 3 - Tes*e t *alculado para os *ndices de Sharpe T**te t *ootstrap (T = 39) Bootstrap (T = 78) *ra**cion*l 1,1194 1,0753 MSMC 5,3211 8,*277 **nte: os autores. Obs*rva-se que quando *ais resultado* são compar*dos co* a esta**stica da t*bela t ( tcrítico ), *ão s* pode reje*tar * *ipó**se nula ao nível de *ignifi*ânc*a adotad* (5%) de qu* o* máximo* ***ices de Sharpe *alculad*s a pa*t*r do boo**trapp*ng e comp*rados com o método Tradicional para monta* a front*ira *ão **u*is. Porém, comparand* b*otstrapping com a Simulação de Monte Carlo, pode-se rejeitar a hipótese *ula d* q*e *ão esta**s*icament* ig*ai* e* r*zão do fato *e esta última metodologia (MSMC) ter gerado ISs mui*o baixo*, o *ue elevou à estatística *. Duas razões q*e po**m *er influen*iad* tal resultad* *rata* d* tamanho da janel* *i*u*ada q*e 138 Aplicação da *ronte*ra eficiente... *ota*izou 1.20* retorn*s mensais, j* que o us* da técni*a é mais aconselhável para per*odos *e tempo maior*s *, *rinci*almente, em decor*ência da form* como foi empregado, uma ve* que * simulação foi co*str*íd* para um i*tervalo de reto*nos mensa*s c*m va*iação com*re*nd*da entre -2 e 2, caracteri*and* a dis*ribuiç*o *aussiana e não partindo do* retorno* ef*tivo* d*s companhias ou *utros tip*s de distribui*ão de *robabilidade. 5 CONC*USÃO O present* trabalho re*isitou * campo da teoria d* cartei*as es*abeleci*a n* trab*lho de Markow*** (1952) compar*ndo a c*nstruç*o de fronte*ras a partir dos dado* hist*rico* *om outros *ois m*todos bastante conheci*os n* literatu*a: * boots*rap*i*g e * Simul*ção de Monte Carl*. T*is métodos são cit*dos no *rabalho de Michaud e Mic*aud (*008) como a*terna*iva par* a montagem *a frontei*a eficien*e. De maneira g*ral, as principais contribu*ções des*e t*abalho são: re*omar a questão *a sensibilidade da fronteira eficiente e do Índ*ce de Sharpe produzidos a p*rtir das métricas utiliz*das; apontar alternativa* possíveis de s* u*ilizar como *a**s de input para a estim*ção da fr*nteira eficient*, o *ue e* *uitos ca*os é *rítico, d*pendendo da janela *e informaçõe* di*pon**eis. *s*i*, f***m analisadas ** difer*n*es métricas e t*stado s* havi* uma superi*r*da** p*los métod*s alterna*i*o* aqui *lenc*do*. Pelo a*uste pu*amen** vis*al das fronteiras, **r*eb*-*e que o boots*ra*pin* *up**a o método Tradi*ional. Porém, o*s*rv*ndo p*la *ign*ficância estat*stic* forne*i*a *el* teste t, não s* pode rejeitar a hipótese nul* de q*e os máximos Ín*ices *e Sharpe calculados foram iguai*. Pelo b*otstrap*in* considerado em relaçã* à S*mulação de Monte Car*o, pode-se conc*uir uma diferença esta*ística *i*nificante entre ela*. Cabe ainda de*t*car q*e, como limitaç*es dest* *raba*ho, *oram assu*id*s os r*t*rno* pa*a a Simulação de *o*te **rlo a par**r da **stribuição ga*ssiana, o *ue **ra resu*tados *astan*e diferentes quando o mecanismo probabilístico dos dados n*o é * mes** *aquel* que aqui foi tomado *o** refe*ê*c*a e que a *nál*se do des*mpenho ficou restringid* a* t*st* in-sample. C*mo sugestões para tra**lho* f*turo*, conv*m utili*ar mod*los de séries temporais, co*o *s model*s Aut*regressiv* Int*gra*ed M*ving Average (*ri*a) pa*a predize* as séri*s d* retorno assoc*adas a diferent*s estruturas ** formação da m*triz de covariância e os métodos alternativos aqui **pregados para comparar com *s res*lt*dos outro*a encontrados n*sta pesquis*. 139 Carolina *agda da Silva Roma, Robert Ald* Iquiapa*a, Bru*o Pérez Ferreira REFER*NCIAS ASSAF NE**, A. Mercado *ina**eiro. 9. ed. Sã* *aulo: Atlas, 2009. BER*STEIN, P. O des*fio a*s deu*es: a f*scinante his*ó*i* do r*sco. *io de Janeiro: C*mpus, 1*97. 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